Вопрос, который вызвал трудности

Для выпуклого четырёхугольника ABCD соблюдено условие: AB+CD=BC+DA. Докажите, что окружность, вписанная в ABC, касается

Ответ экспертов Учись.Ru

Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал так: Для выпуклого четырёхугольника ABCD соблюдено условие: AB+CD=BC+DA. Докажите, что окружность, вписанная в ABC, касается

После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:

Пусть K и L – точки касания со стороной AC окружностей, вписанных в треугольники ABC и ADC. Тогда 2AK=AB+AC-BC и 2AL=AD+AC-CD. Поэтому из равенства AB+CD=BC+AD, переписанного в виде AB-BC=AD-CD, следует, что AK=AL, т.е. точки K и L совпадают. Поскольку окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, лежат по разные стороны от прямой AC, это означает, что они имеют единственную общую точку K=L, т.е. касаются.