В научно-исследовательском институте работают 20 ученых: логики, математики и программисты (никаких других специалистов

Число программистов очевидно кратно 10, поскольку «каждый 10-й программист является математиком»
Значит, их либо 10, либо 20. 20 программистов быть не может, поскольку такое их число будет противоречить условию, согласно которому только «каждый 5-й математик является программистом»
Следовательно, программистов – 10 человек
Поскольку «каждый 10-й программист является математиком», число программистов, которые являются математиками 10:10 = 1 человек
Так как «каждый 5-й математик является программистом», 1*5 = 5 математиков
Тогда 9 (чистых программистов) + 1 (программист-математик) + 4 (чистых математика) = 14 человек. Получается, что «чистых» логиков 20-14 = 6
Известно, однако, что не все логики «чистые»: среди логиков треть является программистами и треть – математиками
Следовательно, общее число логиков должно быть кратно 3 и их число > 6 (поскольку только чистых логиков уже 6)
Значит, их может быть 9, 12, 15 или 18 – последовательно рассмотрим все 4 варианта
Допустим, общее число логиков – 9. Треть от 9 равна 3, а значит, 3 логика должны оказаться программистами и 3 – математиками
При этом мы знаем, что 6 логиков – «чистые» (см. шаг 3), т.е. «нечистых» остается всего 3
Получается, что 3 логика-программиста и 3 логика-математика – это одни и те же люди
Допустим, общее число логиков – 12
Треть от 12 равна 4, а значит, 4 логика должны оказаться программистами и 4 – математиками
Учитывая, что «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), «нечистых» в сумме должно быть тоже 6
Это возможно только если найдется 2 человека, которые будут одновременно логиками, математиками и программистами
Допустим, общее число логиков – 15
Треть от 15 равна 5, а значит, 5 логиков должны оказаться программистами и 5 – математиками
При этом «чистых» логиков 6 (см. шаг 3), и «нечистых» должно быть 9
Значит, должен быть один человек, который является одновременно логиком, математиком и программистом
Проверим последний случай, когда общее число логиков – 18
18:3 = 6
Значит, среди логиков 6 – математики
Однако известно, что математиков всего 5  (противоречие)

ОТВЕТ: логиков – 15 человек