Найдите четное четырехзначное натуральное число,сумма цифр которого равна их произведению

Найдите четное четырехзначное натуральное число,сумма цифр которого равна их произведению

Утверждение: Если натуральные числа больше 1, то их сумма не больше произведения. Действительно, для двух натуральных чисел, больших 1, это очевидно: при a<=b <br>ab-a-b = b(a-1)-a >= b-a >= 0.
Для трех натуральных: abc >= ab+c >= a+b+c. Аналогично и для любого кол-ва натуральных. Доказано.

Следовательно, в нашем числе есть хотя бы одна цифра, равная 1. Допустим для удобства, что это цифра d. Тогда abc = abcd = a+b+c+d-1 = a+b+c.

Но произведение трех натуральных равно их сумме только в единственном случае, когда они различны и равны соответственно 1, 2 и 3. Док-во: пусть a<=b<=c. <br>а) Предположим, что они все больше 1. Тогда abc-a-b-c = c(ab-1)-a-b >= 3c-a-b > 0. Противоречие. Поэтому среди них есть единица (допустим, это a).
б) Отсюда имеем три числа - 1,b,c. Тогда 1*bc - 1-b-c = bc-1-b-c = c(b-1)-(b-1)-2 = (c-1)(b-1)-2 = 0. Следовательно, b=2 и с=3 (т. к. b<=c). Доказано.<br>
Значит, наше число состоит из 2 единичек, тройки и двойки. Можно, конечно, делить все 12 таких чисел на 19 на калькуляторе, но и тут можно сэкономить: согласно признаку Перельмана делимости на 19 , число десятков (не разряд десятков, а именно их количество: например, в числе 1132 - 113 десятков), сложенное с удвоенным числом единиц, должно делиться на 19. Такое число только одно, и оно равно 3211.