Решите в натуральных числах (a,b) уравнение НОК(a,b)−НОД(a,b)=ab/5.

Решите в натуральных числах (a,b) уравнение
НОК(a,b)−НОД(a,b)=ab/5.

Используем то, что НОД(a,b)*НОК(a,b)=ab. Пусть НОД(a,b)=x. Тогда НОК(a,b)=ab/x. Подставим это в исходное выражение.
ab/x-x=ab/5
Умножим обе части на 5x.
5ab-5x²=abx
ab(5-x)=5x²
ab=(5x²)/(5-x)
Выражение справа должно быть положительным, поэтому 5-x>0. Переберем 4 варианта, чтобы выражение справа было целым.
1) x=1: (5*1²)/(5-1)=5/4 - не целое
2) x=2: (5*2²)/(5-2)=20/3 - не целое
3) x=3: (5*3²)/(5-3)=45/2 - не целое
4) x=4: (5*4²)/(5-4)=80 - подходит
Тогда НОК(a,b)=ab/x=80/4=20, НОД(a,b)=4.
Так как НОД(a,b)=4, то числа a и b представимы в виде 4a' и 4b', где НОД(a',b')=1.
ab=(4a')*(4b')=16*a'b'=80
a'b'=5.
Тогда возможно два варианта:
1) a'=1, b'=5.
a=1*4=4, b=5*4=20
2) a'=5, b'=1
a=5*4=20, b=1*4=4
Ответ:(4;20), (20;4).