из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист....

Х -- время в пути велосипедиста))
(х - 2/3) -- время в пути мотоциклиста (он быстрее приехал)
тогда скорость велосипедиста -- (S / x)
а скорость мотоциклиста -- (S / (x - 2/3)) = (3*S / (3*x - 2))
скорость сближения (сумма скоростей) -- (S / x) + (3*S / (3*x - 2)) = 
= (S(3x-2) + 3S) / (x*(3x-2)) = S(6x-2) / (x*(3x-2))
весь путь S пройден с этой скоростью (со скоростью сближения) за 15 минут... 
S / ( S(6x-2) / (x*(3x-2)) ) = 1/4
S сократится)))
x*(3x-2) / (6х-2) = 1/4 
x*(3x-2) / (3х-1) = 1/2
2*x*(3x-2) = 3х-1
6х² - 7х + 1 = 0
D = 49-4*6 = 5²
(x)1;2 = (7 +- 5) / 12
х1 = 1
х2 = 1/6 часа -- это 10 минут -- это не возможно, т.к через 15 минут они встретились и весь путь еще не был пройден никем)))
Ответ: время в пути велосипедиста 1 час
-------------------------------------------------------
может, второе рассуждение будет понятнее или короче...
но смысл тот же...
если обозначить весь путь (S), скорость велосипедиста (v), скорость мотоциклиста (m), то условие задачи запишется так:
(S/v) - (S/m) = 2/3 -- это= мотоциклист приехал на 40 минут раньше)))
S / (v+m) = 1/4 -- это= они встретились через 15 минут после выезда)))
----------------------система из двух уравнений, причем найти нужно не S,v или m, 
а отношение (S/v) -- время в пути велосипедиста)))
4*S = v+m ---> m = 4*S - v 
(S/v) - (S/(4*S - v)) = 2/3
теперь можно ввести новую переменную х = (S/v)
и для этого вторую дробь можно чуть преобразовать ((разделить и числитель и знаменатель на (v), которое не равно 0))):
S / (4*S - v) = (S/v) / (4*(S/v) - 1)
получим: х - х / (4х - 1) = 2/3
(4х² - 2х) / (4х - 1) = 2/3
(2х² - х)*3 = 4х - 1
6х² - 7х + 1 = 0 --уравнение такое же))) просто дробей меньше)))