Вопрос, который вызвал трудности

сформулируйте и докажите теорему об окружности вписанной в треугольник? сколько окружностей можно вписать в данный треугольник?

Ответ экспертов Учись.Ru

Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме.

После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:

Теорема. 

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
Доказательство. 

Пусть ABC данный, O – центр вписанной в него окружности, D, E и F – точки касания окружности со сторонами. Δ AEO = Δ AOD по гипотенузе и катету (EO = OD – как радиус, AO – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ OAD = ∠ OAE. Значит AO биссектриса угла EAD. Точно также доказывается, что точка O лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

В треугольник всегда можно вписать окружность,и при том только одну.