Вопрос, который вызвал трудности

Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на ее концах?

Ответ экспертов Учись.Ru

Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал так: Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идет стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на ее концах?

После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:

Проведём индукцию по произведению чисел на всех ребрах.
База: произведение равно единице. Это эквивалентно тому, что на каждой стрелке написано число 1. Тогда можно поставить и в каждой точке число 1.
Шаг индукции. Пусть произведение равно  n> 1,  и для всех меньших произведений утверждение уже доказано. Возьмём произвольный простой делитель n, обозначим его через p. Ясно, что p делит число на какой-то стрелке из точки A в точку B.
Докажем, что числа на всех стрелках, выходящих из A, делятся на p, или числа на всех стрелках, входящих в B, делятся на p. Пусть это не так. Тогда есть стрелка из A в C, число на которой не кратно p, и стрелка из D в B, число на которой не кратно p. Пройдём по замкнутому маршруту  A → B → D → C → A.  По условию, произведение чисел на стрелках AB и DC равно произведению чисел на стрелках DB и AC. Но первое из произведений кратно p, а второе – не кратно. Противоречие.
 Пусть все числа на всех стрелках из A кратны p. Поделим их все на p. Заметим, что расстановка чисел на стрелках все еще удовлетворяет условию. Действительно, в каждом замкнутом маршруте, проходящем через A ровно k раз, произведение чисел на стрелках по направлению движения и произведение чисел на стрелках против направления движения уменьшились ровно в pk раз. Так как произведение чисел на стрелках при этой операции уменьшилось, можно воспользоваться предположением индукции и должным образом расставить числа в точках. После этого увеличим число в точке A в p раз. Получившаяся расстановка чисел решает исходную задачу.
 Случай, в котором числа на всех стрелках в B кратны p, разбирается аналогично.
Ответ. Обязательно.