Можно ли сказать, что организм защищает твоё здоровье, заставляя тебя чихать и кашлять?

Да, так можно сказать. Чиханье — защитное приспособление человека и других животных, обеспечивающий удаление из дыхательных путей пыли, слизи и других раздражающих веществ путём сильного выдоха, преимущественно через носоглотку, после короткого глубокого вдоха, В отличие от кашля, при чиханье язык прижимается к мягкому нёбу, поэтому сильный выдох осуществляется через нос.
Кашель — сильный выдох через рот, вызванный сокращениями мышц дыхательных путей из-за раздражения нервных окончаний. Физиологическая роль кашля — очищение дыхательного тракта от посторонних веществ и предупреждение механических препятствий, нарушающих проходимость воздухоносных путей.