Какие русские княжества не попали под власть Золотой Орды? Какое влияние оказывали...

1. Если правильно помнится, то только Новгород, княжества Витебское, Полоцкое, Пинское и Смоленское. Чем откупился Смоленск не совсем понятно, возможно участием своих войнов несколько позже в составе татарского корпуса, во всяком случае такие свидетельства есть. Хотя опять странновато - Смоленск в то время один из центров международной торговли, богатый город и вроде бы для степняков, любителей пограбить, лакомый кусок. Тем не менее факт - Ордой ни разу не предпринимались попытки штурма Смоленска. При этом Новгород платил "Ордынский выход", а вот Смоленск, Пинск, Полоцк - нет и к 1260 - 70-м годам попадают в сферу влияния княжества Литовского.
2. Великое Княжество Литовское изначально называлось Великое Княжество Литовское и Русское. Культурно, этнически и ментально оно продолжало оставаться Русским. Другое дело, что после нашествия Батыя, остальная часть Руси (кроме Новгорода и Пскова) перестала принимать участие в культурном обмене между землями многочисленных русских княжеств. Литва продолжала поддерживать торговые и культурные связи во многом только с Новгородом и Псковом (из-за их политической независимости), но постепенно влияние славянских земель уменьшалось. Литва гораздо больше интересного для себя видела на Западе (в Польше) и посматривала на Север (на Швецию). Постепенно влияние русских земель сократилось. Та часть Литвы, которая собственно и сейчас является Литвой уже полностью стала частью Западного Мира. А вот провинциальные земли (то, что сейчас называется Республика Беларусь и Украина) продолжали оставаться славянскими православными землями.