Вопрос, который вызвал трудности

Но я терпеливо сидел у клетке​ и бросала ей вкусные кусочки.

Синтаксический разбор предложение.

Ответ экспертов Учись.Ru

Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме.

После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:

Члены предложения:
Я - подлежащее
Терпеливо - обстоятельство
Сидел - сказуемое
У клетки - обстоятельство или дополнение неважно.
Бросала - сказуемое
Ей - дополнение
Вкусные - определение
Кусочки - дополнение

(Повест. невоскл. прост. распр. двусостав. ослож. однородными сказуемыми)