Играют двое. Петя на листе бумаги рисует по одному кружку и соединяет каждый очередной кружок, если хочет, с предыдущими

Есть известная теорема о раскраске карт, из которой следует, что если первый заранее нарисует все кружки, то второй сможет их раскрасить в 4 цвета. Но если первый задаёт второму определенный порядок раскраски и конструирует карту по ходу игры, то первому может не хватить никакого конечного числа цветов.
Достаточно доказать (по индукции), что если Петя умеет создать карту, у которой есть k доступных цветов (т.е. карту, содержащую k кружочков разного цвета, которые можно соединить с новым кружочком), то он может создать карту, у которой есть k+1 доступный цвет.
Пусть Петя сделал две карты, у каждой из которых есть k доступных цветов. Если их объединение содержит k+1 доступный цвет, то задача решена, а если наборы цветов совпадают, то к одной из карт он добавит новый кружок, соединенный с k цветами первой карты. Ваня выставит новый цвет, который вместе со второй картой даст карту с k+1 доступным цветом.