Кубик размером 3х3х3 составлен из k кирпичей в форме прямоугольных параллелепипедов, длины всех ребер которых равны целым числам.

Ответ: 7.
Решение. Непосредственным перебором можно проверить, что разные параллелепипеды в данной задаче имеют разный объем, а именно, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18 или 27. Всего в «большом» кубе 27 единичных кубиков. Предположим, что все k параллелепипедов различны. Если k ≥ 7, то суммарный объем всех параллелепипедов не менее 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 = 33 > 27. Значит, предположение неверно, и хотя бы два параллелепипеда совпадают.
Покажем, что на 6 разных параллелепипедов куб разделить можно. Действительно, 27 = 1 + 2 + 3 + 4 + 8 + 9, так что параллелепипеды можно сложить так: «нижний слой» - параллелепипед 1х3х3, на нем параллелепипеды 2х2х2 и 1х2х2 образуют параллелепипед 3х2х2. Оставшуюся область 1х2х3 заполняем брусками 1х1х3 и 1х1х2 и кубиком 1х1х1.