На прямой отметили несколько точек. Затем между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке, после чего проделали эту операцию

Пусть вначале было отмечено k точек. Тогда после первой операции мы отметим k–1 новую точку (по одной между первой и второй, второй и третьей, …, k–1-ой и k-ой старыми отмеченными точками), и всего отмеченных точек станет 2k–1, то есть нечётное число. Соответственно, промежутков между ними будет четное число, и после повторной операции снова получится нечетное+четное=нечетное число точек. Очевидно, оно будет оставаться нечётным и после любого числа таких операций, а число 2012 чётно.
Ответ. Не могло.