Вопрос, который вызвал трудности
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера
Ответ экспертов Учись.Ru
Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал так: На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше 100 таких, угловая мера
После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:
По индукции докажем утверждение для 2n+1 точки и n2 дуг. База n=0 (1 точка и 0 дуг) – очевидна.
Шаг индукции. Пусть имеется 2n+3 точки. Рассмотрим "длинную" (более 120°) дугу AB с концами в этих точках (если таких нет, то "коротких" дуг более чем достаточно). Пусть С – произвольная из оставшихся точек. Тогда по крайней мере одна из дуг AС, BС не превосходит 120°. Итак, имеется не менее 2n+1 "коротких" дуг с концами в точках A и B. Плюс (согласно предположению индукции) n2 "коротких" дуг с концами в других (2n+1)-й точках. Итого, не менее n2+2n+1=(n+1)2 "коротких" дуг.
Шаг индукции. Пусть имеется 2n+3 точки. Рассмотрим "длинную" (более 120°) дугу AB с концами в этих точках (если таких нет, то "коротких" дуг более чем достаточно). Пусть С – произвольная из оставшихся точек. Тогда по крайней мере одна из дуг AС, BС не превосходит 120°. Итак, имеется не менее 2n+1 "коротких" дуг с концами в точках A и B. Плюс (согласно предположению индукции) n2 "коротких" дуг с концами в других (2n+1)-й точках. Итого, не менее n2+2n+1=(n+1)2 "коротких" дуг.