Вопрос, который вызвал трудности
Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей.
Ответ экспертов Учись.Ru
Чтобы дать полноценный ответ, был привлечён специалист, который хорошо разбирается в теме «ЕГЭ (школьный)». Ваш вопрос звучал так: Натуральные числа от 1 до 100 расставлены по кругу в таком порядке, что каждое число либо больше обоих соседей, либо меньше обоих соседей.
После обсуждения с другими специалистами сервиса мы пришли к выводу, что правильный ответ на ваш вопрос будет звучать следующим образом:
Сначала расставим числа подряд, а затем поменяем местами числа 2 и 3, 4 и 5, ..., 98 и 99. В полученной расстановке (1, 3, 2, 5, 4, ..., 99, 98, 100) есть ровно 51 хорошая пара – это пары
(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), ..., (97, 96), (99, 98), (98, 100).
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна – хорошая. Действительно, пусть a1, a2, a3, a4, a5 – подряд стоящие числа. Не умаляя общности, можно считать, что a1>a2<a3>a4<a5. Пусть пара (a3, a4) не является хорошей. Тогда a1>a2>a5>a4, то есть a1>a4<a5. Значит, пара (a2, a3) является хорошей.
Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и нехорошие пары чередуются. Но пара, следующая за числом 100, – хорошая: 100>(ak<ak+1)>ak+2<ak+3. Хорошей также является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.
(1, 3), (3, 2), (5, 4), (7, 6), ..., (97, 96), (99, 98), (98, 100).
Докажем, что хороших пар не менее 51. Заметим, что среди любых двух пересекающихся пар хотя бы одна – хорошая. Действительно, пусть a1, a2, a3, a4, a5 – подряд стоящие числа. Не умаляя общности, можно считать, что a1>a2<a3>a4<a5. Пусть пара (a3, a4) не является хорошей. Тогда a1>a2>a5>a4, то есть a1>a4<a5. Значит, пара (a2, a3) является хорошей.
Поэтому хороших пар уже не менее 50, причем ровно 50 их может быть, только если хорошие и нехорошие пары чередуются. Но пара, следующая за числом 100, – хорошая: 100>(ak<ak+1)>ak+2<ak+3. Хорошей также является и пара, предшествующая числу 100, а значит, чередование невозможно.